Eisgwg sthn Mjhmtik Anˆlush me efrmogèc stic Pijnìthtec ki thn Sttistik A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA 2 OktwbrÐou 2015
2 I see it but I don t believe it Cntor on letter to Dedekind upon the discovery tht [0, 1] nd [0, 1] [0, 1] hve the sme crdinlity. Georg Cntor, Mthemticin 1845-1918 Your proposition my be good, But let s hve one thing understood, Whtever it is, I m ginst it. And even when you ve chnged it or condensed it, I m ginst it. Prof. Quincy Adms Wgstff (k Groucho Mrx) in Horsefethers (1932, Prmount Pictures) Groucho Mrx, Comedin 1890-1977
Perieqìmen 1 Βασικές εισαγωγικές έννοιες 7 1.1 Εισαγωγή................................................. 7 1.2 Σύνολα και πράξεις συνόλων........................................ 7 1.3 Άκολουθίες συνόλων........................................... 9 1.4 Οι πραγματικοί αριθμοί........................................... 10 1.5 Άλλα σύνολα................................................ 11 1.6 Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα.................................. 12 1.7 Η απόλυτη τιμή............................................... 14 1.8 sup και inf................................................ 14 1.9 Η αρχή της επαγωγής........................................... 18 1.10 Σημαντικότερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 18 2 Ακολουθίες πραγματικών αριθμών 21 2.1 Εισαγωγή................................................. 21 2.2 Ο ορισμός της ακολουθίας και της υποακολουθίας........................... 21 2.3 Ορια ακολουθιών............................................. 23 2.4 Μονότονες ακολουθίες.......................................... 25 2.5 Το Θεώρημα Bolzno W eierstrss................................. 27 2.6 Ακολουθίες Cuchy........................................... 30 2.7 Άνω και κάτω όρια ακολουθιών..................................... 31 2.8 Διπλές ακολουθίες............................................ 38 2.9 Εφαρμογές................................................. 38 2.9.1 Το λήμμα του Cesro...................................... 38 2.9.2 Προσεγγίσεις κατανομών..................................... 39 2.10 Σημαντικότερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 40 3 Σειρές και εφαρμογές τους 41 3.1 Εισαγωγή................................................. 41 3.2 Σειρές................................................... 41 3.3 Γεωμετρικές σειρές............................................ 41 3.4 Κριτήρια σύγκλισης............................................ 42 3.5 Αναδιάταξη σειρών............................................ 45 3.6 Διπλές σειρές............................................... 46 3.7 Εφαρμογές................................................. 49 3.7.1 Δυναμοσειρές........................................... 49 3.7.2 Υπολογισμός ροπών για διακριτές τυχαίες μεταβλητές..................... 51 3.7.3 Εφαρμογές στην θεωρία αποφάσεων............................... 52 3.7.4 Εναλλαγή ορίων.......................................... 53 3.7.5 Το γινόμενο Cuchy...................................... 53 3.8 Σημαντικότερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 54 3
4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 Συναρτήσεις στο R και συνέχεια 55 4.1 Εισαγωγή................................................. 55 4.2 Βασικοί ορισμοί.............................................. 55 4.3 Ορια συναρτήσεων............................................ 56 4.4 Συνεχείς συναρτήσεις........................................... 57 4.5 Το θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής..................................... 59 4.6 Το θεώρημα του μεγίστου......................................... 60 4.7 Ομοιόμορφη συνέχεια........................................... 62 4.8 Άνω και κάτω όριο συναρτήσεων..................................... 64 4.9 Δεξιά και αριστερά όρια, και συνέχεια................................... 66 4.10 Μονότονες συναρτήσεις.......................................... 67 4.11 Παραγωγίσιμες συναρτήσεις....................................... 68 4.12 Άλλες έννοιες συνέχειας......................................... 69 4.13 Η έννοια της κυρτότητας και η σχέση της με την συνέχεια....................... 70 4.14 Τα όρια συναρτήσεων για x ή για x και γενικευμένα όρια............... 71 4.15 Εφαρμογές στις πιθανότητες και την στατιστική............................ 72 4.15.1 Η συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων είναι μία δεξιά συνεχής συνάρτηση.......... 72 4.15.2 Η ροπογεννήτρια είναι μία συνεχής συνάρτηση......................... 73 4.15.3 Συνεχείς συναρτήσεις και εκτιμητική.............................. 73 4.15.4 Κυρτές συναρτήσεις στις πιθανότητες και την στατιστική................... 74 4.16 Σημαντικοτερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 74 5 Το ολοκλήρωμα Riemnn Stieltjes 75 5.1 Εισαγωγή................................................. 75 5.2 Διαμερίσεις και εκλεπτύνσεις....................................... 75 5.3 Το ολοκληρωμα Stieltjes για μονότονο ολοκληρωτή.......................... 76 5.4 Το ολοκληρωμα Stieltjes για μονότονο ολοκληρωτή:υπαρξη..................... 78 5.5 Θεμελιώδεις ιδιότητες του ολοκληρώματος: Αθροιστικότητα, γραμμικότητα και θετικότητα..... 83 5.6 Προσέγγιση του ολοκληρώματος Stieltjes............................... 86 5.7 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες..................................... 87 5.8 Συναρτήσεις πεπερασμένης μεταβολής................................... 88 5.9 Το ολοκλήρωμα Stieltjes για γενικό ολοκληρωτή........................... 91 5.10 Σχέση του ολοκληρώματος Stieltjes με το ολοκλήρωμα Riemnn.................. 92 5.11 Το αόριστο ολοκλήρωμα Stieltjes................................... 93 5.12 Το γενικευμένο ολοκλήρωμα Stieltjes................................. 94 5.13 Εφαρμογές στις πιθανοτητες και την στατιστική............................. 94 5.13.1 Ροπές σαν το ολοκλήρωμα Stieltjes στην συνάρτηση κατανομής................ 94 5.13.2 Ροπές με την χρήση του ολοκληρώματος Riemnn...................... 95 5.14 Σημαντικότερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 96 6 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 97 6.1 Εισαγωγή................................................. 97 6.2 Ακολουθίες συναρτήσεων και σημειακή σύγκλιση............................ 97 6.3 Προβλήματα της σημειακής σύγκλισης.................................. 99 6.4 Ομοιόμορφη σύγκλιση.......................................... 101 6.5 Ομοιόμορφη σύγκλιση και συνέχεια................................... 103 6.6 Ομοιόμορφη σύγκλιση και ολοκλήρωση................................. 103 6.7 Ομοιόμορφη σύγκλιση και παραγώγιση................................. 104 6.8 Σειρές συναρτήσεων και ομοιόμορφη σύγκλιση............................. 105 6.9 Εφαρμογές στις δυναμοσειρές...................................... 107 6.10 Το θεώρημα προσέγγισης του W eierstrss............................... 108 6.11 Εφαρμογές................................................. 110 6.11.1 Αναλυτικές συναρτήσεις και σειρές T ylor........................... 110 6.11.2 Ροπογεννήτριες συναρτήσεις................................... 111 6.11.3 Πιθανοθεωρητική ερμηνεία της προσέγγισης Bernstein: Στοχαστική προσέγγιση...... 112 6.11.4 Υπολογισμός πιθανοτήτων.................................... 112 6.11.5 Ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτήσεων κατανομών........................ 113
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 6.12 Σημαντικότερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 114 7 Εισαγωγή στους μετρικούς χώρους 115 7.1 Εισαγωγή................................................. 115 7.2 Μετρικοί χώροι.............................................. 115 7.3 Ακολουθίες και σύγκλιση σε μετρικούς χώρους............................. 116 7.4 Κλειστά και ανοιχτά σύνολα....................................... 118 7.4.1 Κλειστά σύνολα.......................................... 118 7.4.2 Ανοιχτά σύνολα.......................................... 119 7.4.3 Σχέση ανοιχτών και κλειστών συνόλων............................. 121 7.5 Συμπάγεια................................................. 121 7.5.1 Ορισμοί και παραδείγματα..................................... 121 7.5.2 Συμπάγεια και σύγκλιση..................................... 123 7.6 Πλήρεις μετρικοί χώροι.......................................... 123 7.7 Συνεχείς συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους............................... 125 7.7.1 Ορισμοί.............................................. 125 7.7.2 Συνεχείς συναρτήσεις και ανοιχτά και κλειστά σύνολα..................... 126 7.7.3 Συνεχείς συναρτήσεις και συμπάγεια............................... 126 7.8 Παράρτημα................................................. 127 7.8.1 Μια εναλλακτική απόδειξη του θεωρήματος Heine Borel.................. 127 7.8.2 Ακολουθιακός ορισμός της συμπάγειας............................. 128 7.8.3 Συνέχεια και ομοιόμορφη συνέχεια σε συμπαγή σύνολα.................... 129 7.9 Σημαντικότερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 130 8 Εισαγωγή στους χώρους εσωτερικού γινομένου 131 8.1 Εισαγωγή................................................. 131 8.2 Διανυσματικοί χώροι........................................... 131 8.3 Νόρμα................................................... 132 8.4 Εσωτερικό γινόμενο............................................ 133 8.5 Σειρές F ourier.............................................. 135 8.6 Εφαρμογές στις πιθανότητες και την στατιστική............................ 140 8.6.1 Χώροι εσωτερικού γινομένου και τυχαίες μεταβλητές...................... 140 8.6.2 Ανεξαρτησία και καθετότητα................................... 141 8.6.3 Θεωρία προσέγγισης, προβολές και γραμμικά υποδείγματα................... 141 8.6.4 Τυχαίες σειρές F ourier και προσομοίωση συναρτησιακών δεδομένων............. 142 8.7 Σημαντικότερα σημεία του κεφαλαίου.................................. 143
6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Kefˆlio 1 Bsikèc eisgwgikèc ènnoiec 1.1 Eisgwg Στην ενότητα αυτή θα εισάγουμε ορισμένες βασικές έννοιες απο την θεωρία συνόλων και σχετικά με τους πραγματικούς αριθμούς οι οποίες είναι απαραίτητες για την κατανόηση της πραγματικής ανάλυσης. Ορισμένες απο τις έννοιες αυτές έχουν αρκετό ενδιαφέρον και απο μόνες τους εφόσον βρισκουν σημαντικές εφαρμογές στις πιθανότητες και στην στατιστική. 1.2 SÔnol ki prˆxeic sunìlwn. Ενα σύνολο A είναι μία συλλογή ομοειδών αντικειμένων ή εννοιών. Αν το αντικείμενο ή η έννοια x συμπεριλαμβάνεται στην σύλλογή A θα λέμε ότι το x ανήκει στο σύνολο A και θα το συμβολίζουμε x A. Αν όχι θα λέμε ότι το x δεν ανήκει στο σύνολο A και θα το συμβολίζουμε x / A. Ενα σύνολο το οποίο δεν περιέχει κανένα στοιχείο ονομάζεται το κενό σύνολο και συμβολίζεται. Παράδειγμα 1.2.1. Η συλλογή των αριθμών 2, 4, 6 αποτελεί ένα σύνολο το οποίο θα συμβολίζουμε A = {2, 4, 6}. Μπορούμε συνεπώς να γράψουμε 2 A, 4 A, 6 A. Ομως, π.χ. 8 / A. Λέμε ότι ένα σύνολο A είναι υποσύνολο ενός συνόλου S, και το συμβολίζουμε A S, αν κάθε στοιχείο του A είναι και στοιχείο του S αλλά δεν ισχύει το ανάποδο. Δηλαδή, A S { A = S} Παράδειγμα 1.2.2. Αν S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} και A = {2, 4, 6} τότε A S αλλά S A. Παράδειγμα 1.2.3. Αν S = {x 1 < x 1} και A = {x 1 2 < x 1 2 } τότε A S αλλά S A. Οι βασικές πράξεις μεταξύ των συνόλων είναι η ένωση, η τομή και το συμπλήρωμα. Η ένωση δύο συνόλων A και B μας δίνει ένα καινούργιο σύνολο το οποίο συμβολίζουμε με A B και περιέχει τα στοιχεία του A ή του B: c A B c A ή c B Η τομή δύο συνόλων A και B μας δίνει ένα καινούργιο σύνολο το οποίο συμβολίζουμε με A B και περιέχει τα κοινά στοιχεία των A και B: c A B c A και c B Για ένα σύνολο A S μπορούμε να ορίσουμε το συμπληρωματικό του σύνολο, το οποίο συμβολίζουμε A c, και το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία του S τα οποία δεν περιέχονται στο S: b A c b S και b / A 7
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Μία χρήσιμη ιδιότητα της τομής και της ένωσης είναι η ακόλουθη, A (B C) = (A B) (A C) Κάνοντας χρήση της έννοιας του συμπληρωματικού συνόλου μπορούμε να ορίσουμε την διαφορά δύο συνόλων A και B τα οποία είναι και τα δύο υποσύνολα του ίδιου συνόλου S. Η διαφορά του A απο το B συμβολίζεται με A \ B και το σύνολο αυτό περιέχει όλα τα στοιχεία του A που δεν ανήκουν στο B. Συνεπώς c A \ B c A αλλά c / B. Η ένωση και η τομή συνόλων μπορεί να οριστεί και για περισσότερα απο δύο σύνολα. Για τρία σύνολα A 1 A 2 A 3 := (A 1 A 2 ) A 3, A 1 A 2 A 3 := (A 1 A 2 ) A 3, και συνεχίζουμε με αυτό τον τρόπο για περισσότερα των τριών. Εν γένει A 1 A n 1 A n := (A 1 A n 1 ) A n, A 1 A n 1 A n := (A 1 A n 1 ) A n, για οποιοδήποτε n φυσικό αριθμό. Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό Προφανώς x x n A i = A 1 A 2 A n, n A i = A 1 A 2 A n, n A i x σε κάποιο απο τα A 1 A n i {1,, n} τέτοιο ώστε x A i, n A i x σε κάθε ένα απο τα A 1 A n i {1,, n} x A i, Οι παραπάνω ορισμοί γενικεύονται και για άπειρα το πλήθος σύνολα (n = ) A i = {x x A i, για κάποιο i = 1, 2, } A i = {x x A i, για κάθε i = 1, 2, }. Οι ακόλουθοι κανόνες, γνωστοί και ως νόμοι του De Morgn, συνδέουν την ένωση, την τομή και την συμπλήρωση, και είναι πολύ χρήσιμοι, ( n ) c n A i = ( n ) c A i = Στις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να θέσουμε n =. Παράδειγμα 1.2.4. Ας θεωρήσουμε τα σύνολα Τότε, A c i n A c i. A = {2, 4, 6}, B = {1, 3, 5} A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A B =.
1.3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΥΝΟΛΩΝ 9 Παράδειγμα 1.2.5. Εστω A i = {x 1 i 2 < x 1 i 2 }. Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι 6 6 A i = {x 1 < x 1}, A i = {x 1 36 < x 1 36 }. Παράδειγμα 1.2.6. Στα πλαίσια του παραδείγματος 1.2.2 μπορούμε να δούμε ότι A c = {1, 3, 5}. Παράδειγμα 1.2.7. Στα πλαίσια του παραδείγματος 1.2.3 μπορούμε να δούμε ότι A c = {x 1 < x 1 2, ή 1 2 < x 1}. Παράδειγμα 1.2.8. Στα πλαίσια του παραδείγματος 1.2.5 μπορούμε να δούμε ότι A i = {x 1 < x 1}, A i = {0}. Σχόλιο 1.2.9. Εφιστούμε την προσοχή στο ότι πολλές φορές ιδιότητες που ισχύουν για κάθε πεπερασμένο n δεν ισχύουν απαραίτητα στην περίπτωση όπου n =. Η παρατήρηση αυτή αποτελεί και βασικό θέμα της ανάλυσης. Χαριτολογώντας θα μπορούσαμε να πούμε οτι ανάλυση είναι η τέχνη του να περνάς απο το πεπερασμένο στο άπειρο. Πολλές μαθηματικές εκφράσεις μπορούμε να τις μεταγράψουμε με την γλώσσα των συνόλων και αυτό μας δίνει ένα πολύ καλό εναλλακτικο τρόπο έκφρασης. Για παράδειγμα, η πρόταση x n A n σημαινει οτι υπάρχει κάποιο n τέτοιο ωστε να ισχύει x A n. Συνεπώς, αντί να γράψουμε n τέτοιο ωστε x A n μπορούμε ισοδυναμα να γράψουμε x n A n. Με τον ίδιο τροπο, η έκφραση x n A n σημαινει οτι για κάθε n ισχύει x A n. Συνεπώς, αντί να γράψουμε n x A n μπορούμε ισοδυναμα να γράψουμε x n A n. 1.3 'AkoloujÐec sunìlwn Θα εισάγουμε τώρα ορισμένες βασικές έννοιες σχετικά με τις ακολουθίες συνόλων. Ορισμός 1.3.1. Μια άπειρη συλλογή απο σύνολα {A n }, n = 1, 2, ονομάζεται ακολουθία συνόλων. Παράδειγμα 1.3.2. Η συλλογή συνόλων {A n }, n = 1, 2, του παραδείγματος 1.2.5 αποτελεί μια ακολουθία συνόλων. Σε πολλές περιπτώσεις έχει νόημα να ρωτήσουμε την ερώτηση, Ποιό είναι το σύνολο των κοινών στοιχείων όλων των A n απο κάποιο n και πάνω ή την ερώτηση Ποιό είναι το σύνολο των κοινών στοιχείων άπείρων το πλήθος A n Το πρώτο σύνολο το ονομάζουμε το κάτω όριο την ακολουθίας συνόλων {A n } ενώ το δεύτερο το ονομάζουμε το άνω όριο της ακολουθίας συνόλων {A n }. Ορισμός 1.3.3 (Άνω και κάτω όριο ακολουθίας συνόλων). 1. Το κάτω όριο της ακολουθίας συνόλων {A n } είναι το σύνολο ( ) lim inf A n := A k. n=1 k=n 2. Το άνω όριο της ακολουθίας συνόλων {A i } είναι το σύνολο ( ) lim sup A n = A k. n=1 k=n
10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σχόλιο 1.3.4. Το άνω και κάτω όριο μιας ακολουθία συνόλων έχει την ακόλουθη ερμηνεία: 1. Το κάτω όριο μιας ακολουθίας συνόλων είναι το σύνολο όλων των στοιχείων x, τέτοια ώστε το x να ανήκει σε όλους τους όρους της ακολουθίας A n απο κάποιο δείκτη n και μετά. Με άλλα λόγια, το x ανήκει σε όλα τα μέλη της ακολουθίας {A n } εκτός από ένα πεπερασμένο το πλήθος αριθμό των συνόλων A 1, A 2,, A n 1. Αυτό μπορούμε να το εκφράσουμε μαθηματικά ως lim inf A n = {x n έτσι ώστε x A n, A n +1, }. Για το λόγο αυτό πολλές φορές στις πιθανότητες ερμηνεύουμε το άνω όριο μιας ακολουθίας συνόλων σαν τα γεγονότα τα οποία είναι κοινά σε όλες τις παρατηρήσεις εκτός απο πεπερασμένες το πλήθος απο αυτές. 2. Το άνω όριο μιας ακολουθίας συνόλων είναι το σύνολο όλων των στοιχείων x τα οποία ανήκουν σε άπειρα το πλήθος απο τα σύνολα αυτά, δηλαδή lim sup A n = {x x A n για άπειρους το πλήθος δείκτες n}. Για το λόγο αυτό πολλές φορές στις πιθανότητες ερμηνεύουμε το άνω όριο μιας ακολουθίας συνόλων σαν τα γεγονότα τα οποία συμβαίνουν άπειρα συχνά (infinitely often). Εν γένει ισχύει ότι lim inf A n lim sup A n. Ορισμός 1.3.5. Αν για μια ακολουθία συνόλων {A n } ισχύει lim inf A n = lim sup A n τότε λέμε ότι το όριο της ακολουθίας υπάρχει και συμβολίζουμε lim A n := lim inf A n = lim sup A n. Παράδειγμα 1.3.6. Αν για την ακολουθία συνόλων {A n } ισχύει A 1 A 2 A 3 (αύξουσα ακολουθία) τότε lim A n = A n. n=1 Παράδειγμα 1.3.7. Αν για την ακολουθία συνόλων {A n } ισχύει A 1 A 2 A 3 (φθίνουσα ακολουθία) τότε lim A n = A n. n=1 Παράδειγμα 1.3.8. Αν A n = {x 1 1 n < x < 2 + 1 n } τότε Παράδειγμα 1.3.9. Αν A n ξένα μεταξύ τους τότε 1.4 Oi prgmtikoð rijmoð. lim A n = {x 1 x 2}. lim A n =. Θεωρούμε μία βασική εξοικείωση με τους πραγματικούς αριθμούς, το σύνολο των οποίων θα ονομάζουμε R. Στο σύνολο αυτό ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Οι πράξεις αυτες έχουν τις ακόλουθες βασικές ιδιότητες, Πρόσθεση + b = b + + (b + c) = ( + b) + c (b + c) = b + c Πολλαπλασιασμός b = b (b c) = ( b) c
1.5. ΑΛΛΑ ΣΥΝΟΛΑ. 11 Στο R υπάρχουν και δύο ειδικά στοιχεία σχετικά με τις πράξεις αυτές, το 1 και το 0. Το 1 έχει την ιδιότητα του να αφήνει οποιοδήποτε στοιχείο του R αμετάβλητο ως προς τον πολλαπλασιασμό, 1 =, για κάθε R και το 0 έχει την ιδιότητα του να αφήνει οποιοδήποτε στοιχείο του R αμετάβλητο ως προς την πρόσθεση με αυτό, 0 + =, για κάθε R. Επίσης για κάθε στοιχείο R, υπάρχουν δύο στοιχεία, τα οποία θα τα συμβολίζουμε αντίστοιχα με και 1 και τα οποία έχουν την ιδιότητα, + ( ) = ( ) + = 0 1 = 1 = 1 Οσοι απο εσάς έχουν κάποια στοιχειώδη εξοικείωση με την άλγεβρα, θα αναγνωρίσουν ότι το R με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, με αυτές τις ιδιότητες είναι ένα σώμα (field). Μπορούμε να βάλουμε ορισμένες ακόμα ιδιότητες στο R. Συγκεκριμένα, μπορούμε να βρούμε ένα ειδικό υποσύνολο του R, το οποίο ας το συμβολίσουμε με P το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες 1. Αν R, τότε μπορεί να συμβεί μόνο ένα απο τα τρια επόμενα: είτε P, είτε = 0 είτε P, 2. Αν, b P τότε και + b P, 3. Αν, b P τότε και b P. Το σύνολο P, περιέχει τα θετικά στοιχεία του R. Αν το είναι θετικό τότε το λέμε ότι είναι αρνητικό. Πολλές φορές για το σύνολο P θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό R +. Στην γλώσσα της άλγεβρας, ένα πεδίο το οποίο έχει ένα τέτοιο υποσύνολο P ονομάζεται διατεταγμένο σώμα, (ordered field). Συνεπώς το R είναι ένα διατεταγμένο σώμα. Μία άλλη πολύ σημαντική ιδιότητα του R, το οποίο σχετίζεται με την ιδιότητα του το να είναι διατεταγμένο σώμα, είναι ότι σε αυτό μπορούμε να ορίσουμε μία σχέση διάταξης, η οποία είναι η γνωστή μας σχέση της ανισότητας <. Ορισμός 1.4.1. Λέμε ότι < b, για δύο, b R αν b P. Αυτό θα το συμβολίζουμε με b > 0. Η σχέση της ανισότητας έχει τις εξής ιδιότητες, 1. Για δύο οποιαδήποτε, b R ισχύει μόνο ένα απο τα τρία επόμενα ενδεχόμενα, είτε < b, είτε > b είτε = b. 2. Αν < b και b < c τότε και < c. 3. Αν < b τότε και + c < b + c για κάθε c R. 4. Αν < b και c > 0 τότε c < b c. Λόγω των ιδιοτήτων (i) και (ii) λέμε ότι το R είναι ένα ολικά διατεταγμένο σώμα (totlly ordered field) με την σχέση διάταξης <. 1.5 'All sônol. Άλλα σύνολα τα οποία μας ενδιαφέρουν είναι τα ακόλουθα: Το σύνολο των φυσικών αριθμών N + = {1, 2, }. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }. Το σύνολο των ρητών αριθμών, Q = { b,, b Z \ {0}}.
12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τους συμβολισμούς [, b], (, b), (, b], [, b) για τα ακόλουθα υποσύνολα του R, [, b] = {x R x b}, (, b) = {x R x < b}, (, b] = {x R < x b}, [, b) = {x R x < b}. Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί έχουν τις εξής πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες σε σχέση με τους πραγματικούς αριθμούς. Πρόταση 1.5.1 (Ιδιότητες ρητών και αρρήτων). 1. Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, b, ( < b), υπάρχει κάποιος ρητός αριθμός r. 2. Μεταξύ δύο ρητών υπάρχει πάντοτε ένας άρρητος. 3. Μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών, b, ( < b), υπάρχει κάποιος άρρητος αριθμός t. Λέμε λοιπόν ότι οι ρητοί είναι πυκνοί στους πραγματικούς αριθμούς, και ότι οι άρρητοι είναι πυκνοί στους πραγματικούς αριθμούς. Η πυκνότητα των ρητών στους πραγματικούς αριθμούς είναι πολύ σημαντική ιδιότητα και μας βοηθάει στο να εκφράσουμε ορισμένες προτάσεις σε πιο βολική μορφή. Παράδειγμα 1.5.2. Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς και b. Θα ισχύει < b αν και μόνο αν υπάρχει ρητός αριθμός r n τέτοιος ώστε < r n < b. Παράδειγμα 1.5.3. Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς και b. Θα ισχύει b αν και μόνο αν < b + 1 n για καθε n. Παράδειγμα 1.5.4. Κάνοντας χρήση των ρητών αριθμων μπορούμε να έχουμε ορισμένες πολύ χρήσιμες εκφράσεις. Για παράδειγμα (, b] = (, b + 1 ). n n Προσπαθείστε μόνοι σας να δώσετε και άλλα τέτοια παραδειγματα. 1.6 Arijm sim ki mh rijm sim sônol Ορισμός 1.6.1. Δυο σύνολα A και B ονομάζονται ισοδύναμα (και συμβολίζουμε A B) αν υπάρχει 1-1 απεικόνιση μεταξύ των στοιχείων τους. Αν A B λέμε ότι τα δυο σύνολα εχουν τον ιδιο πληθάριθμο. Παράδειγμα 1.6.2. Το σύνολο {,,, } είναι ισοδύναμο με το σύνολο {1, 2, 3, 4} και ισοδύναμο με το σύνολο {,,, }. Και τα τρια αυτά σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθμο. Παράδειγμα 1.6.3. Το σύνολο των αρτιων ειναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικων αριθμών. Το σύνολο των περιττών είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικων αριθμών. Το σύνολο των ρητων είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικών αριθμών. Το σύνολο των ρητών δεν είναι ισοδύναμο με το σύνολο των φυσικών. Ορισμός 1.6.4. Ενα σύνολο A λέμε ότι έχει πληθάριθμο n αν είναι ισοδύναμο με το {1, 2,, n}, δηλαδη μπορεί να βρεθεί μία 1 1 απεικόνιση μεταξύ των στοιχείων του συνόλου αυτού και του {1, 2,, n}. Συμβολίζουμε crd(a). Παράδειγμα 1.6.5. Το σύνολο {2, 4, 6, 8, 10} είναι ισοδύναμο με το {1, 2, 3, 4, 5} και έχει πληθάριθμο 5. Παράδειγμα 1.6.6. Το σύνολο {x R x 2 7 = 0} είναι ισοδύναμο με το {1, 2} και έχει πληθάριθμο 2. Ορισμός 1.6.7. Ενα σύνολο ονομάζεται πεπερασμένο αν ο πληθαριθμός του είναι πεπερασμένος αριθμός, ή είναι το κενό σύνολο. Στην αντίθετη περίπτωση ονομάζεται μη πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο. Παράδειγμα 1.6.8. Το σύνολο {1, 2, 4, 6, 8} είναι πεπερασμένο ενώ το σύνολο των ρητών είναι άπειρο.
1.6. ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΑ ΚΑΙ ΜΗ ΑΡΙΘΜΗΣΙΜΑ ΣΥΝΟΛΑ 13 Ορισμός 1.6.9. Ενα σύνολο ονομάζεται αριθμήσιμο αν μπορεί να βρεθεί μία 1-1 απεικόνιση μεταξύ των στοιχείων του συνόλου αυτού και του N +. Ενα σύνολο για το οποία δεν είναι αυτό δυνατό, ονομάζεται μη αριθμήσιμο. Ισχύουν τα ακόλουθα: Το σύνολο των ακεραίων αριθμών, Z είναι αριθμήσιμο. Το σύνολο των ρητών αριθμών, Q είναι αριθμήσιμο. Το σύνολο των αρρήτων αριθμών, R \ Q δεν είναι αριθμήσιμο. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών, R, δεν είναι αριθμήσιμο. Τα σύνολα [, b], (, b), (, b],[, b), δεν είναι αριθμήσιμα. Παράδειγμα 1.6.10. Ας δούμε γιατί το σύνολο [0, 1] δεν είναι αριθμήσιμο. Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι κάθε πραγματικός αριθμός x μπορεί να γραφεί σαν μία ακολουθία από φυσικούς αριθμούς (η οποία μπορεί να μην τελειώνει ποτέ), x = 0. 1 2, όπου 0 n 9 για κάθε n 1. Για να το κάνουμε αυτό παίρνουμε ως 0 τον μεγαλύτερο φυσικό τέτοιο ωστε 0 x, μετά ορίζουμε ως 1 τον μεγαλύτερο φυσικό αριθμό τέτοιο ώστε 0 + 1 10 x, και εν γένει ως n τον μεγαλύτερο φυσικό τέτοιο ωστε 0 + 1 10 + n 10 n x και συνεχίζουμε επ άπειρον. Ο κάθε πραγματικός αριθμός x μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως μια ακολουθια 0. 1 2. Η αναπαράσταση αυτή μπορεί να θεωρηθεί σαν το άπειρο άθροισμα x = 0 + n n=1 10. Αν n ενδιαφερόμαστε για τα στοιχεία του [0, 1] τότε 0 = 0. Ας υποθέσουμε οτι το [0, 1] είναι αριθμήσιμο και θα δούμε οτι θα οδηγηθούμε σε άτοπο. Εφόσον το I = [0, 1] είναι αριθμήσιμο μπορούμε να βρούμε μια 1-1 αντιστοιχία μεταξύ των φυσικών αριθμων και των στοιχείων του συνόλου [0, 1]. Εστω λοιπόν x 1 το πρώτο στοιχείο του I, x 2 το δεύτερο, x 3 το τρίτο κ.ο.κ. Συνεπώς, I = {x 1, x 2, x 3, }. Κάθε ενα απο αυτά τα στοιχεία έχει μια δεκαδική αναπαράσταση, έστω x m =. m1 m2 m3, όπου ο δείκτης m συμβολίζει το ότι η ακολουθία { mn }, n = 1, 2, αντιστοιχεί στην δεκαδική αναπαράσταση του πραγματικού αριθμού x m. Εφόσον όλοι οι αριθμοί x m [0, 1], το m0 = 0 και παραλείπεται. Το σύνολο I μπορεί λοιπόν να αναπαρασταθει σαν ενας πίνακας με άπειρες γραμμές και άπειρες στήλες που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς mn, x 1 x 2 x 3. x n... 11 12 13 21 22 23 31 32 33.... n1 n2 n3. Σύμφωνα με την υπόθεση μας, οι γραμμές του παραπάνω πίνακα περιέχουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς στο διαστημα [0, 1]. Θα δείξουμε ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα αριθμο y [0, 1] με δεκαδική αναπαράσταση.b 1 b 2 b 3 ο οποίος δεν αντιστοιχεί σε καμία γραμμή του παραπάνω πίνακα. Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής: Ας πάρουμε την διαγωνιο του πίνακα αυτού 11, 22, 33,. Αν 11 = 1 θέτουμε b 1 = 2 αλλιώς b 1 = 1. Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο, στο n-οστό βήμα αν nn = 1 θέτουμε b n = 2 αλλιώς b n = 1 κ.ο.κ. Φτιάχνουμε κατ αυτόν τον τρόπο τον πραγματικό αριθμό.b 1 b 2. Η ακολουθία b 1 b 2 δεν συμπίπτει (εκ κατασκευής) με καμία απο τις γραμμες του παραπάνω πίνακα, αρα φτιάξαμε ένα αριθμό στο διάστημα [0, 1] που δεν συμπίπτει με την απαρίθμηση I = {x 1, x 2, x 3, }. Συνεπώς οδηγηθήκαμε σε άτοπο, άρα το [0, 1] δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο. Το επιχείρημα αυτό οφείλεται στον Georg Cntor και είναι το περίφημο διαγώνιο επιχείρημα του το οποίο δημοσιευθηκε το 1891.... Παράδειγμα 1.6.11. Εχουμε δει ότι ισχύει (, b] = n (, b + 1 ). n Το σύνολο (, b] μπορεί να γραφεί σαν αριθμήσιμη τομή των συνόλων A n = (, b + 1 n ).
14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Αν τα A και B είναι πεπερασμενα σύνολα, τότε A B αν και μόνο αν crd(a) < crd(b). Αυτό σημαίνει ότι αν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο τότε δεν μπορεί να είναι ισοδύναμο με κανένα γνήσιο υποσύνολο του. Αυτό δεν ισχύει για τα άπειρα σύνολα, αν ένα σύνολο A είναι άπειρο τότε υπάρχει ένα γνήσιο υποσύνολο του B A τέτοιο ωστε A B. Μάλιστα, μπορούμε να αποδείξουμε οτι τα άπειρα υποσύνολα αριθμήσιμων συνόλων είναι και αυτά αριθμήσιμα συνολα. Τι μπορούμε να πούμε για τον πληθάριθμο απείρων συνόλων; Ορισμός 1.6.12. Ο πληθάριθμος του συνόλου των φυσικων αριθμών N + συμβολίζεται με ℵ 0 (άλεφ μηδέν). Ολα τα αριθμήσιμα σύνολα έχουν τον ίδιο πληθάριθμο ο οποίος είναι ο ℵ 0. Παράδειγμα 1.6.13. Επειδή το σύνολο Q είναι αριθμήσιμο, ισχύει οτι crd(q) = ℵ 0. Με βάση τα παραπάνω, είναι προφανές οτι crd(r) ℵ 0. Ποιός είναι ο πληθάριθμος των πραγματικων αριθμων; Ορισμός 1.6.14. Ο πληθάριθμος του συνόλου των πραγματικων αριθμών συμβολίζεται με c και ονομάζεται ο πληθάριθμος του συνεχούς. Είδαμε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δυο ειδη απείρων συνόλων. Το N + και το R, και τα δυο αυτά σύνολα είναι ποιοτικα διαφορετικά (έχουν διαφορετικό πληθάριθμο). Το 1878 ο Georg Cntor διατύπωσε την περίφημη υπόθεση του συνεχούς, σύμφωνα με την οποία κάθε άπειρο σύνολο πραγματικών αριθμών, είτε είναι αριθμήσιμο (δηλαδή έχει πληθάριθμο ℵ 0 ) είτε έχει τον ίδιο πληθάριθμο με το σύνολο R (δηλαδή c). Η υπόθεση αυτή απασχόλησε τους μαθηματικούς (και τον ίδιο τον Cntor ) για πολλά χρόνια. Μάλιστα ο Dvid Hilbert το 1900 διατύπωσε την απόδειξη ή την κατάριψη της υπόθεσης του συνεχούς σαν το πρώτο απο τα 23 προβλήματα τα οποία θα απασχολούσαν την μαθηματικη επιστήμη κατά τον 20ο αιώνα. Το 1937 ο Kurt Gödel έδειξε οτι η υπόθεση του συνεχούς είναι συμβατη με τα αξιώματα της θεωριας συνόλων του Zermelo ενώ το 1963 ο Pul Cohen έδειξε ότι η άρνηση της υπόθεσης του συνεχούς είναι επίσης συμβατή με τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Αυτό μας δείχνει οτι η υπόθεση του συνεχούς ανήκει στην γκρίζα ζώνη των μαθηματικών, είναι μια πρόταση για την οποία δεν μπορούμε να αποφανθούμε με βάση το αξιωματικό μας πλαίσιο σχετικά με το αν είναι ψευδής ή αληθής. 1.7 H pìluth tim. Ορισμός 1.7.1. Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x συμβολίζεται με x και ορίζεται ως { x αν x 0 x = x αν x < 0 Οι ακόλουθες ιδιότητες της απόλυτης τιμής είναι ιδιαίτερα χρήσιμες, x c c x c x y = x y x y x y x + y Αν αναπαραστήσουμε τους πραγματικούς αριθμούς x 1, x 2 με σημεία της πραγματικής ευθείας, τότε η απόλυτη τιμή της διαφοράς x 1 x 2 παίζει τον ρόλο της απόστασης μεταξύ των σημείων αυτών. Ορισμός 1.7.2. Εστω x R. 1. Το θετικό μέρος του x ορίζεται ως x + := mx(x, 0). 2. Το αρνητικό μέρος του x ορίζεται ως x := mx( x, 0). Για οποιοδήποτε x ισχύει x = x + x και x = x + + x. Τόσο το x + όσο και το x είναι θετικοί αριθμοί. 1.8 sup ki inf Οι έννοιες του ελάχιστου άνω φράγματος (sup) και του μέγιστου κάτω φράγματος (inf) είναι θεμελιώδεις στην ανάλυση. Θα εισάγουμε πρώτα τις έννοιες του άνω και του κάτω φράγματος για υποσύνολα του R.
1.8. SUP ΚΑΙ INF 15 Ορισμός 1.8.1 (Άνω και κάτω φράγμα συνόλου). Εστω X R. 1. Το X είναι άνω φραγμένο αν υπάρχει κάποιο C R τέτοιο ώστε x C για κάθε x X. Ο πραγματικός αριθμός C ονομάζεται ένα άνω φράγμα του συνόλου X. 2. Το X είναι κάτω φραγμένο αν υπάρχει κάποιο c R τέτοιο ώστε c x για κάθε x X. Ο πραγματικός αριθμός c ονομάζεται ένα κάτω φράγμα του συνόλου X. Προφανώς τα άνω και κάτω φράγματα για κάποιο σύνολο δεν είναι μοναδικά. Παράδειγμα 1.8.2. Εστω X = [, b] R, με < b. Οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός C b είναι ένα άνω φράγμα του X ενώ οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός c είναι ένα κάτω φράγμα του X. Θα ορίσουμε τώρα τις έννοιες του ελάχιστου άνω φράγματος και του μέγιστου κάτω φράγματος. Ορισμός 1.8.3 (sup και inf). Εστω X ένα υποσύνολο του R το οποίο ειναι μη κενό. 1. Ο πραγματικός αριθμός M είναι ένα ελάχιστο άνω φράγμα (supremun) για το X, αν το M είναι άνω φράγμα για το X και για κάθε άλλο ανω φράγμα M του X ισχύει M M. Συμβολίζουμε M = sup(x). Αν X =, sup(x) := και αν X δεν είναι φραγμένο απο τα ανω sup(x) = +. 2. Ο πραγματικός αριθμός m είναι ένα μέγιστο κάτω φράγμα (infimum) για το X, αν το m είναι κάτω φράγμα για το X και για κάθε άλλο κάτω φράγμα m του X ισχύει ότι m m. Συμβολίζουμε m = inf(x). Αν X =, inf(x) := + και αν X δεν είναι φραγμένο απο τα κάτω inf(x) =. Από τον παραπάνω ορισμό, μπορούμε να δούμε ότι 1. M = sup(x) αν και μόνο αν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει κάποιο x X (το x εξαρτάται απο την επιλογή του ɛ) τέτοιο ώστε M ɛ < x M. Αυτό μας λέει οτι αν ελαττώσουμε το sup(x) κατα ɛ (για οποιοδήποτε ɛ > 0, το sup(x) ɛ δεν είναι ανω φράγμα του συνόλου X. 2. m = inf(x) αν και μόνο αν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει κάποιο x X τέτοιο ώστε m x < m + ɛ. Αυτό μας λέει οτι αν αυξήσουμε το inf(x) κατα ɛ (για οποιοδήποτε ɛ > 0, το inf(x) + ɛ δεν είναι κάτω φράγμα του συνόλου X. Ισχύει πάντοτε οτι inf(x) sup(x). Σε αντίθεση με τα άνω και κάτω φράγματα που δεν είναι μοναδικα, το sup και το inf είναι. Πρόταση 1.8.4. Το ελάχιστο άνω φράγμα και το μέγιστο κάτω φράγμα για ένα σύνολο X είναι μοναδικά. Απόδειξη: Εστω m 1 = inf(x), m 2 = inf(x) δύο μέγιστα κάτω φράγματα του X. Θα δείξουμε ότι m 1 = m 2. Απο τον ορισμό, εφοσον m 1 είναι μέγιστο κάτω φράγμα του X θα έχουμε ότι το m 1 είναι κάτω φράγμα για το σύνολο X και οποιοδήποτε άλλο κάτω φράγμα του X θα είναι μικρότερο απο αυτό. Συνεπώς, επειδή το m 2 είναι κάτω φράγμα για το X (επειδή έχουμε δεχθεί ότι είναι μέγιστο κάτω φράγμα) θα πρέπει να ισχύει ότι m 2 m 1. Επίσης απο τον ορισμό, εφόσον το m 2 είναι μέγιστο κάτω φράγμα του X θα έχουμε ότι το m 2 είναι κάτω φράγμα για το σύνολο X και οποιοδήποτε άλλο κάτω φράγμα του X θα είναι μικρότερο απο αυτό. Συνεπώς, επειδή το m 1 είναι κάτω φράγμα για το X (επειδή έχουμε δεχθεί ότι είναι μέγιστο κάτω φράγμα) θα πρέπει να ισχύει ότι m 1 m 2. Οι δύο αυτές ανισότητες μας δείχνουν ότι m 1 = m 2, άρα το μέγιστο κάτω φράγμα είναι μοναδικό. Η απόδειξη για το ελάχιστο άνω φράγμα αφήνεται σαν άσκηση. Παράδειγμα 1.8.5. Ας υποθέσουμε ότι X = [, b] για, b R, b. Τότε sup X = b και inf X =. Το ελάχιστο άνω φράγμα και το μέγιστο κάτω φράγμα ενός συνόλου X, δεν είναι απαραίτητο να ανήκουν στο σύνολο X. Παράδειγμα 1.8.6. Ας υποθέσουμε ότι X = (, b) για, b R, b. Τότε sup X = b και inf X =, τα οποία δεν ανήκουν στο X.
16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Συμβολισμός 1.8.7. 1. Αν το A = {x 1, x 2, } R ειναι ενα αριθμήσιμο σύνολο, θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό sup(a) = sup n x n και inf(a) = inf n x n. 2. Αν A R και f : A R μια συνάρτηση θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό sup f = sup(f(a)) = sup({y R y = f(x) για κάποιο x A}) = sup({f(x) x A}), A inf f = inf(f(a)) = inf({y R y = f(x) για κάποιο x A} = inf({f(x) x A})), A για το sup και το inf του πεδίου τιμών της συνάρτησης f. Παράδειγμα 1.8.8. Εστω X = { 1 n, n N+}. Τότε sup(x) = 1 και inf(x) = 0. Ισοδύναμα μπορούμε να γράψουμε sup 1 n = 1 και inf 1 n = 0. Παράδειγμα 1.8.9. Εστω A = (0, 1] και f : A R με f(x) = e x. Εχουμε ότι inf f = A inf({e x R x (0, 1]}) = e 1, sup f = sup({e x R x (0, 1]}) = 1. A Είναι πολύ σημαντικό να καταλάβουμε την διαφορά του μεγίστου στοιχείου ενός συνόλου και του ελαχίστου άνω φράγματος, καθώς και την διαφορά του ελαχίστου στοιχείου ενός συνόλου και του μεγίστου κάτω φράγματος. Ορισμός 1.8.10. Εστω X ένα υποσύνολο του R. 1. Ο πραγματικός αριθμός M ονομάζεται το μέγιστο στοιχείο του X αν και μόνο αν M X και M = sup X. 2. Ο πραγματικός αριθμος m ονομάζεται το ελάχιστο στοιχείο του X αν και μόνο αν m X και m = inf X. Ο ορισμός αυτός τονίζει ότι το ελάχιστο άνω φράγμα και το μέγιστο κάτω φράγμα ενός συνόλου δεν είναι απαραίτητα στοιχεία του συνόλου αυτού! Φυσικά αν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο τότε το sup ταυτίζεται με το μέγιστο στοιχείο του και το inf ταυτίζεται με το ελάχιστο στοιχείο του. Η ακόλουθη ιδιότητα του R είναι πολύ σημαντική για την πραγματική ανάλυση. Αξίωμα 1.8.11 ( Υπαρξη του ελάχιστου άνω φράγματος). Ενα άνω φραγμένο και μη κενό υποσύνολο του R έχει ελάχιστο άνω φράγμα. Η ιδιότητα αυτή των υποσυνόλων του R είναι θεμελιώδους σημασίας για την πραγματική ανάλυση και επάνω της βασίζονται όλα τα βασικά θεωρήματα της. Σχόλιο 1.8.12. Η ιδιότητα αυτή που ισχύει για τα υποσύνολα του R και είναι γνωστή ως η ιδιότητα πληρότητας του Dedekind δεν είναι αυτονόητη για κάθε σύνολο. Για παράδειγμα το σύνολο των ρητών αριθμών Q δεν έχει αυτή την ιδιότητα! Πολλές φορές λοιπόν, όταν εργαζομαστε σε γενικότερα σύνολα, χρειάζεται να θέσουμε την παραπάνω πρόταση σαν αξίωμα, το οποίο σχετίζεται με το αξίωμα της επιλογής. Το αξίωμα αυτό λέει με απλά λόγια ότι αν έχουμε μια άπειρη συλλογή απο σύνολα, μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σύνολο το οποίο θα περιέχει ένα στοιχείο απο κάθε σύνολο της συλλογής αυτής. Απο τον ορισμό του sup και του inf μπορούμε να συνάγουμε ορισμένες βασικές τους ιδιότητες. Πρόταση 1.8.13. Εστω A, B R. 1. Αν A B τότε sup(a) sup(b). 2. Αν A B τότε inf(a) inf(b). Με άλλα λόγια, αν θεωρήσουμε την απεικόνιση (συνάρτηση) A sup(a) σαν μια απεικόνιση απο το σύνολο των υποσυνόλων του R στους πραγματικούς αριθμούς αυτή η απεικόνιση είναι μονότονη (αύξουσα). Με την ίδια λογική, η απεικόνιση A inf(a) είναι φθίνουσα. Σχόλιο 1.8.14. Ακόμα και αν A B (με αυστηρό εγκλεισμό) εν γένει sup(a) sup(b) και inf(a) inf(b). Αυτό συμβαίνει γιατι τα sup και inf των συνόλων A και B δεν είναι απαραίτητα και στοιχεία των αντίστοιχων συνόλων.
1.8. SUP ΚΑΙ INF 17 Παράδειγμα 1.8.15. Ας θεωρήσουμε το αριθμήσιμο σύνολο A = {x 1, x 2, } R και τα υποσύνολα του A n = {x n, x n+1, }. Αν ορίσουμε ως M n = sup(a n ) και m n = inf(a n ) μπορούμε να δούμε ότι M n M n+1 και m n m n+1 για κάθε n. Αυτό προκύπτει άμεσα εφόσον A n+1 A n για κάθε n. Ορισμός 1.8.16. Εστω A, B R και c R. Ορίζουμε τα σύνολα c A = {x R x = c y, y A}, A + B = {x R x = y + z για κάποια y A, z B}, A B = {x R x = y z για κάποια y A, z B} Παράδειγμα 1.8.17. Εστω A = (0, 1], B = (2, 4). Μπορούμε να δούμε οτι 2A = (0, 52, A = [ 1, 0), A + B = (2, 5) και A B = ( 4,, 1). Πρόταση 1.8.18. Αν A R και c R ισχύει ότι sup(c A) = c sup(a), inf(c A) = c inf(a), c 0, sup(c A) = c inf(a), inf(c A) = c sup(a), c < 0. Στην ειδική περίπτωση όπου c = 1 παίρνουμε την χρήσιμη ιδιότητα sup( A) = inf(a), inf( A) = sup(a). Παράδειγμα 1.8.19. Ας θεωρήσουμε το σύνολο A = { 2 n n N+ } και το σύνολο A = { 2 n n N+ }. Μπορούμε να δούμε ότι sup( A) = inf(a) = 0 και inf( A) = sup(a) = 2. Πρόταση 1.8.20. Αν A, B R, μη κενά με την ιδιότητα x y για κάθε x A και κάθε y B, τότε sup(a) inf(b). Απο αυτό είναι προφανές και ότι inf(a) sup(a) inf(b) sup(b). Παράδειγμα 1.8.21. Εστω A = (0, 2) και B = [2, 6). Ισχύει ότι 2 = sup(a) inf(b). Φυσικά ισχύει και ότι inf(a) inf(b) και sup(a) sup(b). Πρόταση 1.8.22. Αν A, B R, μη κενά, τότε sup(a + B) = sup(a) + sup(b), inf(a + B) = inf(a) + inf(b), sup(a B) = sup(a) inf(b), inf(a B) = inf(a) sup(b). Παράδειγμα 1.8.23. Εστω δυο συναρτήσεις f, g : I R. Με βάσει την Πρόταση 1.8.22 (και τον Συμβολισμό 1.8.7) ισχύει ότι sup I inf I (f + g) sup I (f + g) inf I Για να το δούμε αυτό ξεκινάμε με την παρατήρηση οτι εν γένει f + sup g, I f + inf I g. {f(x) + g(x) x I} {f(x) x I} + {g(x) x I}, (1.1) εφόσον το σύνολο {f(x) + g(x) x I} αποτελείται απο τις τιμές που παίρνει το άθροισμα f(x) + g(x) για το ίδιο x I ενω εν γένει το {f(x) x I} + {g(x) x I} αποτελείται απο τους πραγματικούς αριθμούς f(x) + g(y), x I, y I αλλά δεν ισχύει απαραίτητα οτι x = y 1. Σύμφωνα με τον Συμβολισμό 1.8.7, sup f = sup({f(x) x I}, I sup g = sup({g(x) x I}, I sup(f + g) = sup({f(x) + g(x) x I}), I 1 To prˆdeigm I = (0, 1), f(x) = e x, g(x) = e x, ìpou {f(x) x I} + {g(x) x I} = (1 + e 1, 1 + e) ki {f(x) + g(x) x I} = (2, e 1 + e) mporeð n sc bohj sei sto n ktno sete thn prpˆnw sqèsh. (1.2)
18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ και χρησιμοποιώντας την Πρόταση 1.8.22, sup({f(x) x I} + {g(x) x I}) = sup({f(x) x I} + sup({g(x) x I} = sup I Απο την σχέση (1.1) και χρησιμοποιώντας την Πρόταση 1.8.13 καταλήγουμε στο οτι sup({f(x) + g(x) x I}) sup({f(x) x I} + {g(x) x I}), f + sup g. I απο την οποία χρησιμοποιώντας την (1.2) προκύπτει η ανισότητα για τα sup. Η ανισότητα για τα inf αφήνεται σαν άσκηση. 1.9 H rq thc epgwg c Η επαγωγή είναι μία πολύ χρήσιμη αποδεικτική διαδικασία, η οποία μας επιτρέπει να ελέγχουμε την ορθότητα ορισμένων προτάσεων. Χρησιμοποιείται αρκετά σαν εργαλείο στην μαθηματική ανάλυση, οπότε την υπενθυμίζουμε εδώ. Θα παρουσιάσουμε μόνο μία ειδική μορφή της αρχής της επαγωγής, την οποία θα χρησιμοποιήσουμε αρκετά συχνά. Θεώρημα 1.9.1 (Αρχή της επαγωγής). Εστω μία συλλογή πρότασεων {S(n)}, n N +. Αν 1. Η πρόταση S(1) είναι αληθής. 2. Ισχύει ότι αν για κάποιο n η πρόταση S(n) είναι αληθής τότε και η πρόταση S(n + 1) είναι επίσης αληθής, τότε η πρόταση S(n) είναι αληθής για κάθε n N +. Παράδειγμα 1.9.2. Κάνοντας χρήση της αρχής της επαγωγής δείξτε ότι 1 + 2 + + n = n (n+1) 2, για κάθε n N +. Ας θεωρήσουμε κάποιο n N. Η πρόταση S(n) είναι η πρόταση S(n) = Ισχύει ότι 1 + 2 + + n = n (n + 1). 2 Θα δείξουμε ότι η πρόταση S(n) είναι αληθής για κάθε n N χρησιμοποιώντας την επαγωγή. Εύκολα βλέπουμε ότι η S(1) είναι αληθής. Ας υποθέσουμε τώρα ότι για κάποιο n η S(n) είναι αληθής. Τότε θα ισχύει 1 + 2 + + n = n (n + 1) 2 Ας ελέγξουμε το κατά πόσον η S(n + 1) είναι αληθής δηλαδή το κατά πόσο ισχύει ότι Πράγματι, έχουμε ότι 1 + 2 + + n + (n + 1) = (n + 1) ((n + 1) + 1). 2 1 + 2 + + n + (n + 1) = (1 + 2 + + n) + (n + 1) = n (n + 1) (n + 1) (n + 2) (n + 1) ((n + 1) + 1) + (n + 1) = =. 2 2 2 Άρα, η S(n + 1) είναι επίσης αληθής και απο την αρχή της επαγωγής, η S(n) είναι αληθής για κάθε n. 1.10 Shmntikìter shmeð tou keflðou Οι βασικές πράξεις των συνόλων, τόσο για πεπερασμένο όσο και για άπειρο αριθμό συνόλων. Τα άνω και κάτω όρια ακολουθίων συνόλων και η ερμηνεία τους. Οι έννοιες αυτές θα χρησιμοποιηθούν πολύ στην θεωρία πιθανοτήτων και ειδικά στα οριακά θεωρήματα τα οποία αποτελούν και την βάση της στατιστικής. Η έννοια της πυκνότητας των ρητών και των αρρήτων στους πραγματικούς αριθμούς.
1.10. ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 19 Η έννοια της απόλυτης τιμής και η ερμηνεία της ως απόστασης στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Οι έννοιες του inf και sup υποσυνόλων του R και οι πιθανές διαφορές τους απο τις έννοιες του μεγίστου και του ελαχίστου. Η κατανόηση και η χρήση της αρχής της επαγωγής.
20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Kefˆlio 2 AkoloujÐec prgmtik n rijm n 2.1 Eisgwg Στην ενότητα αυτή θα εισάγουμε ορισμένες βασικές έννοιες απο την θεωρία των ακολουθιών πραγματικών αριθμών οι οποίες αποτελούν μία βασική εισαγωγή στις πιο προχωρημένες έννοιες της πραγματικής ανάλυσης (βλ. π.χ. Johnsonbugh nd Pfffenberger (1981)). Επίσης, οι έννοιες αυτές έχουν αρκετό ενδιαφέρον και απο μόνες τους εφόσον βρισκουν σημαντικές εφαρμογές στις πιθανότητες και στην στατιστική, όπως θα δούμε με λεπτομέρεια σε μία σειρά παραδειγμάτων που θα ακολουθήσουν. 2.2 O orismìc thc koloujðc ki thc upokoloujðc Ορισμός 2.2.1. Μια ακολουθία στο R είναι μία απεικονιση απο το N + στο R. Για κάθε n N + παίρνουμε ένα πραγματικό αριθμό n R. Ο κάθε όρος της ακολουθίας συμβολίζεται με n και ολόκληρη η ακολουθία συμβολίζεται με { n }, όπου αυτό θα ειναι μια συντομογραφια για το { n } n=1. Υπάρχουν διάφοροι εναλλακτικοί (και βέβαια ισοδύναμοι) τρόποι για να δει κανείς μια ακολουθία. Ενας τρόπος είναι να θεωρήσουμε μια ακολουθία σαν ένα σύνολο { 1, 2, } το οποίο είναι ενα αριθμήσιμο υποσύνολο του R. Ενας άλλος τρόπος είναι να θεωρήσουμε μια ακολουθία σαν το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών {(n, n ) n N + }. Παράδειγμα 2.2.2. Παραδείγματα ακολουθιών είναι 1. η ακολουθία { n } με n = 1 n, 2. η ακολουθία { n } με n = 2 n, 3. η ακολουθία { n } με n = ( 1) n, κ.α Παράδειγμα 2.2.3. Ενας επενδυτής έχει τοποθετήσει το αρχικό του κεφάλαιο 0 = 1 σε μία επένδυση που σε κάθε χρονική περίοδο του αποφέρει συνολική απόδοση (1 + r). Αν ονομάσουμε n το κεφάλαιο του την n-οστή χρονική περίοδο τότε το n θα δίνεται απο τον τύπο n = (1 + r) n Αν υποθέσουμε ότι ο χρονικός ορίζοντας του επενδυτή είναι άπειρος τότε το κεφάλαιο του θα δίνεται απο την ακολουθία { n }. Παράδειγμα 2.2.4. Ενας πληθυσμός λόγω γήρανσης μειώνεται κάθε χρονική περίοδο κατά ποσοστό ίσο με µ%. Αν ο αρχικός πληθυσμός είναι 0 = 1000, τότε ο πληθυσμός την n οστή χρονική περίοδο θα είναι ίσος προς ( n = 1000 1 µ ) n 100 Αν υποθέσουμε ότι ο χρονικός ορίζοντας εξέλιξης του πληθυσμού είναι άπειρος τότε ο πληθυσμός θα περιγράφεται απο την ακολουθία { n }. 21
22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Πολλές φορές, αντί να δίνεται εκπεφρασμένα η μορφή του n, οι όροι της ακολουθίας μπορεί να οριστούν με την βοήθεια αναδρομικών τύπων. Ορισμένες φορές οι αναδρομικοί τύποι μπορεί να επιλυθούν και να δώσουν την γενική μορφή για τον n οστό όρο n, ενώ άλλες φορές αυτό δεν είναι πολυ εύκολο ή ακόμα μπορεί να είναι και αδύνατο. Στις περιπτώσεις αυτές μπορούμε να παράγουμε τους όρους της ακολουθίας με την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή. Παράδειγμα 2.2.5. Ας θεωρήσουμε την ακολουθία { n } της οποίας ο γενικός όρος n δίνεται απο τον αναδρομικό τύπο 1 = 1 Με την βοήθεια της επαγωγής, μπορούμε να δείξουμε ότι n+1 = (1 + r) n, n = 1, 2, n = (1 + r) n 1, n = 1, 2, δηλαδή η ακολουθία που παράγεται απο τον αναδρομικό αυτό τύπο είναι η ίδια με την ακολουθία που ορίσαμε στο Παράδειγμα 2.2.3. Παράδειγμα 2.2.6. Ας θεωρήσουμε την ακολουθία των πραγματικών αριθμών { n } οι όροι της οποίας ικανοποιούν την αναδρομική σχέση 1 = 1 n+1 = 1 2 ( n + 2 ), n = 1, 2, n Με την χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε ορισμένους απο τους όρους της ακολουθίας αυτής. Συγκεκριμένα, 1 = 1, 2 = 3 2 = 1.5, 3 = 17 12 = 1.4167, 4 = 577 408 = 1.4142156, 5 = 1393 985 = 1.4142131, Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλώνει το n τόσο οι αριθμοί που παράγει ο αναδρομικός αυτός τύπος προσεγγίζουν τον αριθμό 2. Η ακολουθία αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν μια αριθμητική μέθοδος προσέγγισης της τετραγωνικής ρίζας του αριθμού 2. Ορισμένες φορές μας είναι επαρκές, ή ακόμη και απαραίτητο, να επιλέξουμε ορισμένους μόνο όρους απο μία ακολουθία, προσέχοντας ομως να μην χαλάσουμε την (σχετική) διάταξη των ορων της αρχικης ακολουθίας. Αυτό μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους. Οι νέες ακολουθίες που μπορούμε να παράγουμε επιλέγοντας με κάποιο τρόπο ορισμένους απο τους όρους μίας ακολουθίας ονομάζονται υποακολουθίες. Ορισμός 2.2.7. Εστω { n } μία ακολουθία στον R και f : N + N + μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Η σύνθεση της ακολουθίας { n } με την f, παράγει την νέα ακολουθία { f(k) } k=1, η οποία ονομάζεται υποακολουθία της { n }. Πολλές φορές, συμβολίζουμε την f(k) με μία νέα ακολουθία, {n k } k=1, με την ιδιότητα n k 1 > n k2 για k 1 > k 2, και την υποακολουθία με { nk } k=1. Σχόλιο 2.2.8. Αν { 1, 2, } μια ακολουθία, μια καινούργια ακολουθία στην οποία κάποιος όρος της αρχικής ακολουθίας θα επαναλαμβάνεται επ άπειρον δεν μπορεί να θεωρηθεί υποακολουθία της αρχικής ακολουθίας! Αυτό γιατί ο τρόπος επιλογής μας δεν μπορεί να εκφραστεί με μια γνησίως αύξουσα συνάρτηση επιλογής. Ετσι η { 2, 4, 2n } μπορεί να θεωρηθεί υποακολουθία αλλα η { 1, 2, 3, 3, 3, } δεν μπορεί. Παράδειγμα 2.2.9. Ας πάρουμε την ακολουθία { n } με n = 1 n. Αν επιλέξουμε f(k) = k 2 τότε παίρνουμε την υποακολουθία { f(k) } k=1 με όρους f(k) = 1 k 2. Εναλλακτικός συμβολισμός είναι να πάρουμε την ακολουθία n k = k 2 και να επιλέξουμε απο την ακολουθία n τους όρους nk = 1/k 2. Αν επιλέξουμε f(k) = k! τότε παίρνουμε την υποακολουθία { f(k) } k=1 με όρους f(k) = 1 k!. Εναλλακτικός συμβολισμός είναι να πάρουμε την ακολουθία n k = k! και να επιλέξουμε απο την ακολουθία n τους όρους nk = 1 k!.
2.3. ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ 23 Απο μία ακολουθία μπορούμε να πάρουμε άπειρες υποακολουθίες με διαφορετική επιλογή της συνάρτησης f(k) ή ισοδύναμα της ακολουθίας {n k } k=1 η οποία καθορίζει τους νέους δείκτες. Παράδειγμα 2.2.10. Ας πάρουμε την ακολουθία { n } με n = ( 1) n. Αν επιλέξουμε f(k) = 2k τότε παίρνουμε την υποακολουθία { f(k) } k=1 με όρους f(k) = ( 1) 2k = 1. Εναλλακτικός συμβολισμός είναι να πάρουμε την ακολουθία n k = 2k και να επιλέξουμε απο την ακολουθία n τους όρους nk = 1. Αν επιλέξουμε f(k) = 2k 1 τότε παίρνουμε την υποακολουθία { f(k) } k=1 με όρους f(k) = ( 1) 2k 1 = 1. Εναλλακτικός συμβολισμός είναι να πάρουμε την ακολουθία n k = 2k 1 και να επιλέξουμε απο την ακολουθία n τους όρους nk = 1. Ενας εναλλακτικός (και ισοδύναμος τρόπος) για να καταλάβουμε μία υπακολουθία είναι ο ακόλουθος: Εφόσον μια ακολουθία μπορούμε να την θεωρήσουμε σαν ένα αριθμήσιμο υποσύνολο A = { 1, 2, } R, μια υποακολουθία μπορούμε να την θεωρήσουμε σαν ένα υποσύνολο B = { n1, n2, } A. Τόσο, η αρχική ακολουθία όσο και η υποακολουθια που έχουμε επιλέξει έχει άπειρους όρους. Αυτό δεν πρέπει να μας παραξενεύει, εφόσον μια ακολουθία είναι ένα άπειρο σύνολο, μπορεί να έχει γνήσια υποσύνολα τα οποία είναι άπειρα σύνολα. Με τον ίδιο τρόπο που ορίσαμε υποκολουθίες απο μία αρχική ακολουθία, μπορούμε να ορίσουμε και υποακολουθίες απο μια υποακολουθία κ.ο.κ. Ετσι αν { n } ειναι η αρχική μας ακολουθία μπορούμε απο αυτή να πάρουμε μια υπακολουθια { nk } k=1, και μετά απο αυτή πάλι μια άλλη υποακολουθία { n km } m=1 και να συνεχίσουμε αυτή την διαδικασία επ άπειρον. Κάθε υποακολουθία που θα παίρνουμε θα έχει άπειρους όρους. Συμβολισμός 2.2.11. Θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό { nk } για μια υποακολουθία της ακολουθίας { n }. 2.3 'Ori kolouji n Ενα εύλογο ερώτημα είναι το πως συμπεριφέρονται οι όροι μίας ακολουθίας για μεγάλο n. Το ερώτημα αυτό έχει τόσο θεωρητική όσο και πρακτική σημασία. Π.χ. στα πλαίσια των Παραδειγμάτων 2.2.3 και 2.2.4 η ερώτηση αυτή σχετίζεται με την μακροχρόνια συμπεριφορά του κεφαλαίου του επενδυτή ή του πληθυσμού αντίστοιχα. Απαντήσεις σε τέτοιου τύπου ερωτήσεις σχετικά με την συμπεριφορά μιας ακολουθίας για μεγάλα n, σχετίζονται με την μαθηματική έννοια του ορίου. Ορισμός 2.3.1. Η ακολουθία { n } έχει όριο L, αν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει φυσικός αριμός N τέτοιος ώστε για κάθε n N +, n > N να ισχύει n L < ɛ. Θα χρησιμοποιούμε ή τον συμβολισμό lim n = L ή απλά n L. Ο παραπάνω ορισμός μας λέει ότι μία ακολουθία { n } έχει όριο L αν όλοι οι όροι της n για n > N βρίσκονται στο διάστημα (L ɛ, L + ɛ), όπου το ɛ εξαρτάται από το N και εν γένει μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρό αν επιλέξουμε αρκετά μεγάλο N. Παράδειγμα 2.3.2. Η ακολουθία { n } με n = 1 n έχει όριο L = 0.Πράγματι, n L = 1 n n > N := [ 1 ɛ ] όπου με [ ] συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος. < ɛ, αρκεί Δεν είναι απαραίτητο κάθε ακολουθία να έχει όριο. Παράδειγμα 2.3.3. Η ακολουθία { n } με n = ( 1) n δεν έχει όριο, δηλαδή δεν υπάρχει κανένας πραγματικός αριθμός L για τον οποίο να ισχύει ο Ορισμός 2.3.1. Πράγματι, έστω ότι υπήρχε τέτοιο L. Τότε για κάθε ɛ > 0, θα υπήρχε N N + έτσι ώστε να ισχύει L ɛ < ( 1) n < L + ɛ για n > N. Τα n αυτά μπορεί να είναι άρτια ή περιττά, και η παραπάνω σχέση θα πρέπει να ισχύει τόσο για τα άρτια όσο και για τα περιττά n, και παρατηρούμε οτι αυτό μας δίνει οτι L ɛ < 1 < L + ɛ για άρτιο n (2.1) L ɛ < 1 < L + ɛ, για περιττό n. (2.2) Το L θα πρέπει λοιπόν να είναι τέτοιο ωστε για κάθε ɛ > 0 να ισχύει ταυτόχρονα και η (2.1) και η (2.2), το οποίο είναι άτοπο.
24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Στο παραπάνω παράδειγμα είδαμε μία ακολουθία η οποία δεν έχει όριο, και για να το δείξουμε αυτό χρησιμοποιήσαμε απευθείας τον ορισμό του ορίου. Θα δούμε πολύ σύντομα και άλλα κριτήρια, αρκετά πιο εύκολα στην χρήση, για να συμπεραίνουμε ότι μία ακολουθία δεν έχει όριο. Το όριο σαν έννοια παρουσιάζει ορισμένες πολύ χρήσιμες ιδιότητες. Πρόταση 2.3.4. Το όριο μίας ακολουθίας, αν υπάρχει, είναι μοναδικό. Απόδειξη: Εστω ότι ο ισχυρισμός μας είναι ψευδής. Τότε, μπορούμε να βρούμε μία ακολουθία { n } και δύο πραγματικούς αριθμούς L 1 και L 2 τέτοιους ώστε lim n = L 1 και lim n = L 2. Εφοσον lim n = L 1, από τον ορισμό του ορίου έχουμε ότι για κάθε ɛ 1 > 0 υπάρχει κάποιο N 1 N + τέτοιο ώστε για κάθε n > N 1 να ισχύει n L 1 < ɛ 1, n > N 1 Επίσης, εφόσον lim n = L 2, έχουμε ότι για κάθε ɛ 2 > 0 υπάρχει κάποιο N 2 N + τέτοιο ώστε για κάθε n > N 2 να ισχύει n L 2 < ɛ 2, n > N 2 Αν επιλέξουμε n > mx(n 1, N 2 ) τότε οι ανισοτητες αυτές θα ισχύουν ταυτόχρονα. Αφού, όμως ισχύουν για οποιαδήποτε ɛ 1 > 0 και ɛ 2 > 0, δεν μένει παρά να ισχύει L 1 = L 2. Για να γίνει αυτό πιο κατανοητό, ας υποθέσουμε ότι L 1 L 2 και χωρίς βλάβη της γενικοτητας ότι L 2 > L 1. Ας επιλέξουμε ɛ 1 = ɛ 2 = L 2 L 1 2 Στην περίπτωση αυτή η πρώτη ανισότητα δίνει n < L1+L2 2 για n > mx(n 1, N 2 ) ενώ η δεύτερη ανισότητα δίνει n > L1+L2 2. Προφανώς, αυτό είναι αδύνατο άρα L 1 = L 2. Αν λοιπόν μία ακολουθία έχει κάποιο όριο, τότε αυτό είναι μοναδικό, και συνεπώς, οποιαδήποτε υποακολουθία και αν επιλεγεί απο την ακολουθία αυτή θα πρέπει να έχει την ίδια ασυμπτωτική συμπεριφορά. Πρόταση 2.3.5. Εστω μία ακολουθία { n } τέτοια ώστε lim n = L. Τότε, κάθε υποακολουθία της, { nk } θα πρέπει να έχει όριο L, δηλαδη lim k n k = L. Απόδειξη: Ας πάρουμε οποιαδήποτε υποακολουθία { nk } όπου η ακολουθία {n k } είναι γνησίως αύξουσα. Ε- φοσον η ακολουθία { n } συγκλίνει στο L, για κάθε ɛ > 0 μπορούμε να βρούμε κάποιο N τέτοιο ώστε για κάθε n > N να ισχύει n L < ɛ. Επειδή η {n k } είναι γνησίως αύξουσα, υπάρχει K τέτοιο ωστε n K > N, και για καθε k > K θα ισχύει ότι n k > n K > N. Άρα, για κάθε k > K ισχύει ότι nk L < ɛ. Δείξαμε λοιπόν οτι για κάθε ɛ > 0 μπορούμε να βρούμε K τέτοιο ώστε nk L < ɛ για k > K συνεπώς lim k nk = L. Με βαση την Πρόταση 2.3.5 είναι πλέον πολύ εύκολο να δείξουμε ότι μια ακολουθία δεν έχει όριο. Αρκεί να βρούμε τουλάχιστον 2 υποακολουθίες της οι οποίες δεν έχουν το ίδιο όριο 1. Παράδειγμα 2.3.6. Η ακολουθία { n } με γενικό όρο n = cos(nπ) δεν συγκλίνει. Αυτό γιατί έχει τουλάχιστον δύο υποακολουθίες, την { 2k } και { 2k+1 } οι οποίες εχουν διαφορετικά όρια. Εχει ενδιαφέρον να δούμε την ακόλουθη πρόταση που σχετίζεται με την άλγεβρα των ορίων ακολουθιών. Πρόταση 2.3.7 (Άλγεβρα των ορίων). Εστω δύο ακολουθίες { n } και {b n } οι οποίες συγκλίνουν αντίστοιχα στα όρια L 1 και L 2. Τότε, 1. Η ακολουθία { n + b n } συγκλίνει επίσης και μάλιστα lim ( n + b n ) = L 1 + L 2, 1 Apo thn ˆllh ìmwc gi n deðxoume oti mi koloujð èqei ìrio j prèpei kˆje upokoloujð thc n èqei to Ðdio ìrio ki fusikˆ po mð koloujð mporoôme n epilèxoume ˆpeirec to pl joc upokoloujðec.